Bändchen-Lautsprecher simulieren mit FEMM | FEMM-Tutorial
Simulieren mit FEMM: Ein Tutorial
Letzte Änderungen vom 5. April 2006
2. Der Preprozessor: Eingabe der Modellstruktur
FEMM ist ein integriertes Programmsystem zur Analyse von zweidimensionalen magnetischen – und neuerdings in der Version 4.0 auch elektrostatischen – Aufgabenstellungen. Der Programmname steht für Finite Element Methods Magnetics . FEMM beruht auf dem Wirbelfeld-Ansatz der Maxwellschen Gleichungen – nicht, dass wir das hier vertiefen wollen. Entwickelt hat das Programm David Meeker, der Senior Engineer bei Foster-Miller, Inc. mit Sitz in Massachusetts ist und sich dort u.a. mit der Entwicklung elektromagnetischer Startsysteme für Luftfahrzeuge (EMALS-Projekt) beschäftigt. Das Femm-Programmpaket (http://femm.foster-miller.net/) kann als Freeware heruntergeladen werden; auch der Quelltext steht zur Verfügung.
Das Programm kann niederfrequente planare, also ebene, und axialsymmetrische Geometrien simulieren (Axialsymmetrie ist ein anderer Begriff für Zylindersymmetrie). Niederfrequent heißt hier, dass die Stromverdrängung im elektrischen Leiter infolge hochfrequenter magnetischer Felder nicht im Gleichungssystem berücksichtigt wird. Da wir uns für unsere Bändchenlautsprecher die statischen Felder (Frequenz 0 Hz) von Dauermagneten ansehen wollen, brauchen wir uns in diese Fragen nicht zu vertiefen. Wer an einer tiefer gehenden allgemeinen Einführung in die Simulation von Magnetfeldern mit Hilfe von FEMM interessiert ist, der sollte sich unbedingt die Praktische Einführung in die Finite Element Methode (http://www.ifte.de/lehre/cae/fem/index.html) von Dr.-Ing. Alfred Kamusella ansehen. Auch das als pdf-Datei verfügbare Tutorial (http://femm.foster-miller.net/Archives/doc/femmtutor.pdf) von Ian Stokes-Rees sollte man sich besorgen. Dieses Tutorial umfasst detaillierte Schritt-für-Schritt-Beispiele.
FEMM gliedert sich in drei Teile:
Die interaktive Shell (femm.exe); dieser Programmteil
bietet eine CAD-ähnliche Oberfläche zur Eingabe der Struktur oder Geometrie,
deren magnetisches Feldverhalten analysiert werden soll. Außerdem können
Materialeigenschaften und Grenzbedingungen definiert und zugewiesen werden. FEMM
kann Autocad-kompatible dxf-Dateien importieren. Dieser Programmteil bringt die
errechneten Ergebnisse auch auf dem Bildschirm und ermöglicht eine Reihe von Analysen.
Der Programmteil Triangle (triangle.exe) zerlegt die zu
simulierende Struktur in eine vernetzte Zahl von Dreiecken. Das ist ein
wesentlicher Teil der Finiten Element Methode, auf den wir noch zurück kommen
werden. Dieser Programmteil wurde von Jonathan Shewchuk geschrieben und kann
von der Webpage der Carnegie-Mellon University herunter geladen werden.
Der dritte Programmteil ist der eigentliche Problemlöser oder Solver
(fkern.exe für magnetische, belasolv.exe für elektrostatische Aufgabenstellungen).
Diese Solver übernehmen einen Satz Datenfiles, die das Problem beschreiben, und
löst die Maxwellschen Gleichungen für das gebildete Dreiecksnetz oder Mesh, um
die geforderten Feldgrößen für den Analyseraum zu liefern.
Das Programmpaket umfasst außerdem die Skriptsprache Lua,
die in die interaktive Shell integriert ist und mit der sich z.B. mathematische
Ausdrücke in Eingabefelder eingeben lassen oder eine Vielzahl von
Analyseaufgaben automatisieren lässt. Für unsere Problemstellung spielen diese
fortgeschrittenen Techniken allerdings keine Rolle.
Das sehr ausführliche pdf-Handbuch von FEMM setzt gewisse Grundkenntnisse über den Elektromagnetismus und die Maxwellschen Gleichungen (http://de.wikipedia.org/wiki/Maxwellsche_Gleichungen) voraus. Diese vier Gleichungen beschreiben die Erzeugung von elektrischen und magnetischen Feldern durch Ladungen und Ströme sowie die Wechselwirkung zwischen diesen beiden Feldern, die bei zeitabhängigen Feldern in Erscheinung tritt. Sie sind die Grundlage der Elektrodynamik und der theoretischen Elektrotechnik und wurden in den Jahren 1861 bis 1864 von James Clerk Maxwell entwickelt. Wer sich damit vertraut machen möchte, dem empfiehlt David Meeker die Bücher von Martin A. Plonus: Applied Electromagnetics (McGraw Hill, New York, 1978) zur Einführung und auf einem mittleren Level S. Ratnajeevan H. Hoole Computer-Aided Analysis and Design of Electromagnetic Devices (Elsevier, New York, 1989).
FEMM ist nicht das einzige freie Programmpaket zur Analyse magnetischer Probleme. Wer Interesse an der Sache gefunden hat, sollte sich auch die Studienversion von QuickField (http://www.quickfield.com/feat.htm) ansehen. QuickField ist ein Freeware- Analyseprogramm, das eine begrenzte Zahl von Knoten verarbeiten kann, dass mit einer Beispielsammlung und einem Tutorial zum Selbststudium herunter geladen werden kann.
2. Der Preprozessor: Eingabe der Modellstruktur
Die Arbeit mit FEMM beginnt mit der Eingabe der Modellstruktur, deren magnetische Eigenschaften simuliert werden sollen. Diese Struktur wird als zweidimensionale Zeichnung vorgegeben, wobei die Eingabe auch mit einem beliebigen CAD-Zeichenprogramm erfolgen kann, das den dxf-Format beherrscht. FEMM selbst sieht für die Eingabe einen simplen und einigermaßen komfortabel zu bedienenden Editor vor. Die Eingabe des Modells erfolgt in Schritten:
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Zur Vorbereitung einer Simulation wird zunächst über den Menüpunkt File | New ein neues Projekt gestartet. Mit dem Menüpunkt Set Problem wird im zweiten Schritt festgelegt, dass der Problem Type planar ist (nicht axialsymmetrisch) und dass die Frequenz Null ist (wir wollen stationäre magnetische Felder, keine Wechselfelder simulieren). Die Längenmaßeinheit (Length Unit) wird auf Millimeter gesetzt. Außerdem ist die Tiefe (Depth) der Struktur anzugeben. Da meine Bändchen aus rund 12 mm starken Magneten und Eisenprofilen entstehen, habe ich hier 12 eingetragen. |
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Diese Präferenzen können unter dem Menüpunkt Edit | Preferences auch als Vorgabe gespeichert werden. |
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Zur Navigation auf der Zeichenfläche gibt es eine eigene Toolleiste, die auf der linken Seite der Arbeitsfläche untergebracht ist. Dort stehen Tool zum Vergrößern und Verkleinern der Darstellung, zur gezielten Auswahl eines darzustellenden Bereichs und zur Bewegung auf der Bildfläche zur Verfügung. Die Navigation wirkt zwar nicht sonderlich elegant gelöst, funktioniert aber problemlos, wenn man sich erst einmal an die Funktion der vier Pfeiltasten gewöhnt hat. Unter den Navigationstools sind noch drei Buttons angeordnet, mit denen sich als Zeichenhilfe ein Raster (Grid) und die Einrast-Funktion ein- und ausschalten lassen. Der dritte Button öffnet eine Dialogfenster, in dem die Rasterweite bezogen auf das bei der Problemstellung definierte Grundmaß (in unserem Fall ein Millimeter) festgelegt werden kann. |
Als erstes werden die Knotenpunkte (Nodes) des Modells eingegeben. Den entsprechenden Node-Modus erreicht man über den mit einem kleinen quadratischen Punkt markierten Button ganz links in der Werkzeugleiste. Die Knotenpunkte können mit der Maus angefahren und mit einem Linksklick markiert werden. Dazu ist allerdings eine hohe Präzision bei der Positionierung der Maus erforderlich.
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Ich finde es einfacher und schneller, wenn man statt dessen mit der Tab-Taste das Eingabefenster für die Node-Koordinaten aufruft und die Werte numerisch eingibt. Das geht am besten, wenn man zuvor eine kleine Handskizze der Struktur anfertigt, in die man die einzelnen Abmessungen – ausgehend von einem gedachten Achsenkreuz – einträgt. |
Natürlich ist es auch möglich, alle oder einen Teil der Punkte mit der Maus zu platzieren. Ein Node wird gesetzt, indem man die gewünschte Stelle mit der linken Maustaste anklickt. Damit diese Punkte präzise gesetzt werden, ruft man den Grid Size Button auf und setzt die Rastergröße zum Beispiel auf 1. Das bedeutet, dass jeder Rasterpunkt gemäß der bereits vorgegebenen Einheit einem Millimeter entspricht. Mit dem Snap to Grid Button sorgt man anschließend dafür, dass die gesetzten Nodes auf das Grid einrasten. Am besten, man sucht durch Auszoomen zuerst den Koordinatenursprung (0,0) und markiert ihn zur besseren Orientierung auf der virtuellen Zeichenfläche mit einem Node.
Sind die Eckpunkte eines oder mehrerer Elemente gesetzt, schaltet man in den Linien-Modus um und verbindet die Nodes mit Linien untereinander. Den Line-Modus erreicht man über den zweiten Toolbutton von links, der mit einem kleinen Liniensymbol zwischen zwei Endpunkten gekennzeichnet ist. Um eine Linie zu setzen markiert man zunächst einen Knotenpunkt durch einen Klick mit der linken Maustaste. Beim Anklicken eines zweiten Punkts wird automatisch die Verbindungslinie der beiden Punkte gezogen. So werden aus den Eckpunkten Figuren. Im einfachsten Fall sind das Rechtecke.
Nicht alle Strukturen beruhen ausschließlich auf rechteckigen oder winkligen Formen, häufig sind Metallteile abgerundet. Um dies darstellen zu können gibt es in FEMM das Arc Tool. Bögen werden gegen den Uhrzeigersinn gesetzt, nachdem man die beiden zu verbindenden Nodes wie üblich ausgewählt hat. Um ein Gefühl dafür zu bekommen, in welcher Richtung der Bogen vom Programm geschlagen wird, wenn man die Nodes in einer bestimmten Reihenfolge anklickt, sollte man ein paar eigene Experimente durchführen – dann hat man den Bogen im doppelten Sinn schnell raus.
Gebogene Formen sind natürlich aufwändiger zu simulieren als gerade und winklige Strukturen. Um für die Simulation von Bögen ggfs. eine dichtere Netzstruktur vorgeben zu können, kann im Arc-Dialog die Eigenschaft Maximal Segment gesetzt werden. Mit Blick auf die Komplexität der Berechnungen und die Rechenzeit sollte man dabei mit einiger Vorsicht zu Werk gehen. Der Defaultwert von fünf Grad dürfte für die meisten unserer Problemstellungen ausreichen, ohne zu viel Ressourcen zu binden. Notfalls geht man auf einen Wert bis zu einem Grad hinunter.
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Das Simulationsprogramm muss wissen, wofür eine Region in der entstehenden Zeichnung der Modellstruktur steht, was in dem gezeichneten Feld sein soll. Dazu müssen die Felder um Materialangaben ergänzt werden. Um die verwendeten Materialien zu definieren ruft man zunächst den Menüpunkt Properties | Materials Library auf. Es erscheint eine Dropbox mit den "Materials in Library", aus der wir die benötigten Materialien aussuchen. In vielen Fällen werden das Luft (Air), ein Magnetmaterial wie zum Beispiel Neodym NeFeB und eine Eisen- oder Stahlsorte sein. Aus den weichmagnetischen Materialien kann man dafür zum Beispiel den bereitgestellten Werkzeugstahl "Carpenter Electrical Iron" verwenden. |
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In der vorliegenden Version sieht FEMM NdFeB-Magnetmaterialien der Stärken N32, N37 und N40 vor. Soweit ich das mit anderen Quellen vergleichen kann, werden die entsprechenden Werte der Koerzitivfeldstärke (gemessen in kA/m – Kilo-Ampere pro Meter) dabei in der FEMM-Bibliothek eher etwas hoch angesetzt. Ich habe die nebenstehenden Werte für gesinterte Neodym-Magnete gefunden, die bei Bedarf in FEMM als neue Materialien ergänzt werden können. Warum der Hersteller für die Materialien N35, N38 und N40 gleiche Feldstärkewerte angibt, konnte ich nicht aufklären. Solche Widersprüche findet man in den Tabellen leider immer wieder. Die Zahlenangabe in der Magnetbezeichnung entspricht dem maximalen Energieprodukt des Magneten gemessen in der alten Einheit MGOe (Mega-Gauss mal Oersted). |
Diese Materialien müssen den entsprechenden Regionen der eingegebenen Struktur zugewiesen werden. In den entsprechenden Zuweisungs-Modus gelangt man durch Anklicken des Block Label Buttons; das ist der mit einem grünen Kreis gekennzeichnete Button in der Toolleiste. Auch die Block Labels können über die Tabulator-Taste mit ihren Koordinaten eingegeben werden.
Einfacher ist es in diesem Fall allerdings, mit der linken Maustaste in den entsprechenden Block zu klicken und ein Label zu setzen, weil es auf die genaue Position des Labels nicht ankommt, so lange es sich im gemeinten Block befindet. Sollte bei diesem Arbeitsschritt noch der Snap to Grid Modus aktiv sein, so kann es sein, dass sich die Block Labels nicht ordentlich setzen lassen. Deshalb ist es besser, den Snap Modus abzuschalten.
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Die so gesetzten Labels können mit der rechten Mauskaste ausgewählt werden. Das kleine grüne Label wird in diesem Fall rot markiert. Über den Space Balken der Tastatur (Leerzeichen) wird für das jeweils markierte Label ein Auswahl-Dialog geöffnet, in dem das gewünschte Material aus einer Block Type Dropdown-Liste ausgewählt werden kann.
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Außerdem ist zu entscheiden, ob man die Auswahl der Maschengröße für die FE-Analyse dem Programm überlassen will, oder ob man dazu eine Vorgabe machen möchte. Da die automatisch gewählte Maschengröße im Regelfall ziemlich grob ausfällt, sollte man die Checkbox "Let Triangle choose Mesh Size" deaktivieren und in dem dann frei gegebenen Feld Mesh Size die gewünschte Maschengröße angeben. Je kleiner die Maschengröße, umso höher die Zahl der zu berechnenden Werte. Eine hohe Auflösung erkauft man mit einer höheren Rechenzeit. Bei der üblichen Strukturengröße von Bändchen-Lautsprechern von 100 bis 300 mm kann man mit einer Maschengröße von zwei bis drei Millimetern anfangen. Der Wert kann später nach Belieben geändert werden – muss allerdings für jeden Block separat eingegeben werden. Nach meiner Erfahrung ergeben sich passable Rechenzeiten, wenn die Gesamtzahl der Maschen in einer Größenordnung von 10.000 liegt.
Mit der Eingabe von Boundary Conditions (http://www.ifte.de/lehre/cae/fem/mag_wirb/randbedingungen.html) brauchen wir uns für unseren speziellen Anwendungsfall zunächst nicht zu beschäftigen. Über diese Bedingungen kann man definieren, wie sich das magnetische Wirbelfeld über den Rand des Modells hinaus ausbreiten soll. Das ist abhängig von der Art des Materials, welches an den Modellrand grenzt. Meistens werden wir den unendlichen Luftraum nachbilden, in den sich das Streufeld des Magneten erstreckt ("Open Boundary Problem"), weil der Bändchen-Lautsprecher bei der Aufstellung von Luft umgeben ist.
Wer mehr über diese Grenzbedingungen erfahren will, mit denen sich zum Beispiel der Einfluss externer Magnetfelder darstellen lässt, sei an das ausführliche Handbuch verwiesen, das als pdf-Datei zusammen mit dem Programm auf dem Rechner installiert wird. In diesem Handbuch sind natürlich auch alle Werkzeuge, Dialoge und Handgriffe, die wir in dieser Kurzanleitung besprechen, ausführlich dargestellt.
Zum Abschluss der Struktureingabe ziehen wir mit Hilfe von Node- und Line-Modus einen Rahmen um unsere Zeichnung, der den Raum umreißt, für den das Programm das Magnetfeld simuliert. Üblicherweise wird dieser Fläche (denn FEMM simuliert ja nur zweidimensional) der Block Type "Air" zugewiesen.
Bevor nun die eigentliche Simulation gestartet werden kann, muss die eingegebene Struktur als File gespeichert werden. Dazu wird wie üblich das Menü Datei | Speichern oder Speichern unter aufgerufen. FEMM legt eine fem-Datei zur Aufnahme des Simulationsproblems an. Diese fem-Dateien sind reine Textdateien, die mit jedem Texteditor wie zum Beispiel Notepad geöffnet und auch editiert werden können.
Der Simulationsvorgang beginnt damit, dass FEMM ein mit dem englischen Begriff Mesh bezeichnetes Netz von Dreiecken über die definierte Struktur zieht. Dahinter verbirgt sich einer der Grundansätze der Finiten Element Analyse (FEA): Zwar erscheinen die Grundgleichungen des Magnetismus nicht sonderlich kompliziert. Trotzdem ist es außer für ganz simple geometrische Grundformen kaum möglich, geschlossene mathematische Lösungen zu formulieren. Hier setzt die FEA an. Sie zerlegt die Aufgabenstellung in eine große Zahl einfachster geometrischer Formen und kann dann das Potential für diese einfache Form auf der Grundlage relativ simpler Funktionen errechnen. Wenn eine genügend große Zahl solcher Regionen errechnet wird – wenn also das Netz ausreichend fein gesponnen wird – dann erhält man ein Ergebnis, dass die exakte Lösung sehr gut annähert.
Die Aufgabe wird, wie es mit FEMM-Handbuch heißt – von einem Problem mit großer Form und komplizierter mathematischer Lösung heruntergebrochen zu einem mit einer großen Zahl kleiner Formen mit einfacher mathematischer Lösung. Durch den Prozess der Diskretisierung wird eine linearer algebraische Aufgabe mit zehntausenden von Unbekannten formuliert. Für die Lösung solcher Aufgaben sind Computer prädestiniert und es existieren Algorithmen, die sie in vergleichsweise kurzer Zeit lösen können. FEMM diskretisiert die Aufgabe durch Dreiecke, deren Größe wir bei der Eingabe der Materialeigenschaften vorgegeben haben. Für jedes dieser Dreieckselemente wird die Lösung durch eine lineare Interpolation der Potentialwerte an den drei Eckpunkten approximiert.
Die Netzbildung wird gestartet, indem der Mesh Button mit dem gelb stilisierten Netz in der Tool-Leiste betätigt wird. Das kann je nach Dichte des gewünschten Netzes, Größe der Struktur und Geschwindigkeit des Prozessors einige Augenblicke in Anspruch nehmen. Zum Abschluss der Aktion zeichnet FEMM die Struktur mit dem gebildeten Netz neu.
Jetzt kann gerechnet werden. Dazu wird der Handkurbel Button (Turn the Crank) betätigt. Es öffnet sich ein Fenster, in dem das Programm den Fortschritt der Berechnungen dokumentiert. Auch dies kann je nach Umfang der Problemstellung eine Zeit in Anspruch nehmen.
Sind die Berechnungen erfolgreich abgeschlossen, so können sie mit dem Brillen Button (Glasses Icon) auf den Bildschirm gerufen werden. Dieser Button startet das Unterprogramm FEMMView. Die Darstellung ist zunächst schwarz-weiß. Klickt man auf den purpurfarbenen Button, so wird die Feldstärke im Plot farbig markiert.
In der sich öffnenden Dialogbox muss die Option "Show Flux Density" gewählt werden, ansonsten können die Defaultwerte akzeptiert werden.
Wenn alles gut gegangen ist, dann sollte man jetzt einen farbigen Plot der simulierten Feldstärken in der entworfenen Magnetstruktur vor sich haben. Natürlich haben wir hier ein Beispiel formuliert, dass die Fähigkeiten von FEMM allenfalls rudimentär nutzt. Andererseits sind Bändchenlautsprecher meist auf recht einfache Strukturen zurück zu führen, so dass man auch kein Nobelpreisträger zu werden braucht, um sie mir einem Werkzeug wie FEMM durchaus brauchbar analysieren zu können. Wer ernsthaft weiter mit dem Programm arbeiten will, muss natürlich über die hier vermittelten Anfangsgründe hinaus kommen. Dazu ist ein intensives Studium des pdf-Handbuchs unumgänglich.
Ähnlich wie der Preprozessor bei der Eingabe der Struktur arbeitet auch der Postprozessor von FEMM immer in einem von drei Modes, mit denen Ergebnisse der Simulation gezielt abgerufen werden können:
Eine sehr anschauliche Darstellung des simulierten Magnetfelds kann mit dem Kontur-Tool erzeugt werden. Damit werden die Flusslinien (Flux Lines) des Magnetfeldes ins Diagramm gezeichnet. Je dichter die Flusslinien beieinander liegen, um so höher ist die Dichte des Feldes (Density). Bei der Analyse von statischen Magnetfeldern stellen die Flux Lines eine bestimmte Höhe des Vektorpotentials dar. Bei magnetischen Wechselfeldern ist die Sache komplizierter, weil in diesem Fall die Phaseninformation hinzu kommt und reale und imaginäre Komponenten des komplexen Feldes separat betrachtet werden müssen. Der FEMM-Postprozessor ermöglicht es, wahlweise den realen oder den imaginären Teil des Feldes darszustellen.
Als Defaultwert zeigt FEMM 19 Flux Lines; das entspricht den „Trennlinien“ zwischen den vorgegebenen 20 Farben oder Grautönen der Felddichtedarstellung. Wenn man eine dichtere Darstellung der Linien wünscht, dann kann die Number of Contours in dem sich öffnenden Dialogfeld verändert werden – zwischen 4 und 100 Flux Lines sind zulässig.
Wenn man FEMM-Ergebnisdiagramme sieht, dann sind das in den meisten Fällen Density Plots, die die lokale Dichte des Magnetfeldes mit einer Grau- oder Farbskala darstellen. Density Plots sind vor allen Dingen hilfreich, um einen anschaulichen Überblick über die Feldstärke in den Teilen des Modells zu bekommen. Wird der mit farbigen Diagonalstreifen markierte Button für den Density Plot angeklickt, öffnet sich ein Eingabedialog, in dem ausgewählt wird, ob die Dichte des Magnetfeldes oder – bei Modellen mit elektrischen Spulen – des Stromes dargestellt werden soll. Außerdem kann gewählt werden, ob eine Legende mit der Farbzuordnung zu den Dichtezonen angezeigt wird. Markiert man Greyscale, wird die Felddichte in Grauabstufungen dargestellt. Sonst wird die Dichte in ein Spektrum von 20 Farben umgesetzt. Die Grenzen der Feldstärke, zwischen denen das geschieht, können im Dialogfenster eingegeben werden.
Wird der Vektor Button (Vector Plots) angeklickt, dann wird in die Darstellung des simulierten Feldes außer der Dichte auch die Richtung der Feldlinien eingetragen. Das kann sehr hilfreich sein wenn man sich – gemäß der Rechten-Hand-Regel – eine Vorstellung davon machen möchte, in welcher Richtung eine durch Magnetfeld und Strom verursachte Kraft wirkt.
Im Punktwert-Modus (Point Values Mode) kann man mit der Maus auf beliebige Punkte auf der Simulationsfläche klicken. Die lokalen Feldgrößen werden dann im FEMM Output-Window aufgelistet.
Der Kontur-Modus (Contour Mode) ermöglicht es dem Anwender, eine beliebig geformte Kontur – zum Beispiel eine Schnittlinie durch einen bestimmten Teil des Feldes – einzugeben und die Feldstärke entlang dieser Schnittlinie als Diagramm (XY-Plot of Field Values) darzustellen. Das ist für die Simulation von Bändchen-Lautsprechern von speziellem Interessen, weil es uns die Möglichkeit gibt, beispielsweise die Homogenität des Feldes oder die Region mit der größten Feldstärke zu analysieren und so die Membrane gezielt zu platzieren.
Im Block Modus (Block Mode) kann eine Unterfläche (Subdomain) in der Simulationsfläche definiert werden. Für diese Subdomain können dann verschiedene Volumenintegrale gerechnet werden, mit denen sich zum Beispiel die in einem elektromagnetischen Feld gespeicherte Energie ermitteln lässt oder der gesamte Strom in einem Bereich einer elektrischen Spule. Die korrekte Anwendung setzt allerdings fundierte Kenntnisse der Physik elektromagnetischer Felder voraus. Über unseren Anwendungsfall geht das hinaus.
Das Diagramm zeigt den Betrag der Feldstärke |B| in Tesla entlang der im Density Plot eingezeichneten roten Linie. Diese Linie markiert einen 30 Millimeter langen Schnitt durch den Luftspalt des simulierten Bändchens. Man erkennt, dass es in der Mitte des Luftspalts einen fünf bis sechs Millimeter tiefen Bereich gibt, in dem eine sehr konstante Feldstärker von rund 0,27 Tesla zu erwarten ist. In diesem Bereich kann die Membrane schwingen, ohne dass sich die Antriebskraft lageabhängig ändert. Das ist die Voraussetzung für eine verzerrungsarme Wiedergabe. Sechs Millimeter Membranhub wären für einen Bändchen-Lautsprecher ein sehr großer Bereich – wir sind also mit unserer Konstruktion auf der sicheren Seite.